Xét f : X → R {\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} } là một hàm số. Ta trang bị cho f ( X ) {\displaystyle f(X)} thứ tự cảm sinh từ thứ tự trên R {\displaystyle \mathbb {R} } . Thế thì phần tử lớn nhất của f ( X ) {\displaystyle f(X)} được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f {\displaystyle f} và phần tử nhỏ nhất của f ( X ) {\displaystyle f(X)} được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f {\displaystyle f} nếu chúng tồn tại.

Ví dụ

Hàm số f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} có giá trị nhỏ nhất bằng 0 {\displaystyle 0} và không có giá trị lớn nhất. Hàm số f ( x ) = 1 − x 2 {\displaystyle f(x)=1-x^{2}} có giá trị lớn nhất bằng 1 {\displaystyle 1} và không có giá trị nhỏ nhất. Các hàm số f ( x ) = x , f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=x,f(x)=e^{x}} đều không có cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất. Lưu ý rằng hàm e x {\displaystyle e^{x}} là một hàm bị chặn dưới. (Trong tất cả các ví dụ trên, tập xác định X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } ).